• /
• Геометрия и алгебра

Основы матричного исчисления. Приложение к анализу матричных уравнений (существования ненулевого решения системы Ах = 0, разрешимости Ах = в).

• Введение в матричное исчисление. Системы линейных уравнений. Основные операции: сложение, умножение матриц, умножение матрицы на число. Матричная запись системы линейных однородных и неоднородных уравнений. Линейная зависимость, независимость строк, столбцов матрицы; ранг матрицы; разрешимость, неразрешимость системы линейных неоднородных уравнений Ах = b.
• Квадратные матрицы. Определители. Миноры и алгебраические дополненя. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу). Основные свойства определителей и их применение при вычислении последних. Понятие вырожденной (невырожденной) матрицы. Обратные матрицы. Вывод формулы для вычисления обратной матрицы. Правило Крамера решения системы Ах = b.
• Определение ранга матриц методом окаймляющих миноров. Применение метода для установления совместности, несовместности (разрешимости, неразрешимости) системы линейных неоднородных Ах = b уравнений и существования ненулевого решения системы линейных однородных Ах = Q уравнений.

Введение в общие алгебраические структуры. Линейное арифметическое n-мерное вещественное пространство R

• Общие алгебраические структуры. Алгебраическая операция. Полугруппа. Группа. Поле. Линейное пространство. Скалярное произведение. Отображение.
• Линейное вещественное арифметическое n-мерное пространство Rn - пространство n-мерных векторов-строк (векторов-столбцов). Базис в Rn. Преобразование координат векторов (элементов Rn) при смене базиса (вывод формулы). Линейные оболочки (подпространства) в Rn , их размерность. Сумма и пересечение линейных оболочек (подпространств), нахождение их базисов.

Скалярное произведение в Rn. Евклидова метрика в Rn

• Скалярное произведение в Rn., его вычисление при задании векторов (элементов Rn) в различных базисах (вывод формулы), матрица Грама.
• Евклидова мера (норма) вектора в Rn. Ортогональный и ортонормированный базисы. Подпространства - ортогональные дополнения.

Линейные отображения (общее определение, линейные отображения R -- R и линейные преобразования)

• Линейное отображение . Общее определение, матрица отображения, ядро и образ отображения. Трактовка систем Ах = 0 и Ах = b исходя из определения ядра и образа линейного отображения.
• Линейное преобразование (оператор). Общее определение, матрица линейного преобразования. Преобразование матрицы при смене базиса (вывод формулы). Вырожденное и невырожденное преобразование.
• Собственные числа и собственные векторы. Доказательство теоремы о линейной независимости собственных векторов для различных собственных чисел преобразования. Понятие многочлена от матрицы, характеристического многочлена, теорема Гамильтона-Кели (с доказательством).
• Симметричное линейное преобразование. Определения (через свойства матрицы и через скалярное произведение). Свойства симметричного преобразования: вещественность собственных чисел (без доказательства), существование ортонормированного базиса собственных векторов (с доказательством). Ортогональные преобразования, матрицы. Метод ортогонального преобразования приведения матрицы симметричного преобразования к диагональному виду.

Линейные, билинейные, квадратичные функции (формы) в Rn

• Линейные, билинейные функции (формы). Определение линейной функции (формы). Определение билинейной формы. Аналитическая, матричная и векторная виды записи билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса (вывод формулы).
• Симметричная билинейная, квадратичная формы. Соответствие между матрицами квадратичных форм и матрицами симметричных линейных преобразований. Методы: ортогонального преобразования и Лагранжа (дополнения до полного квадрата) приведениня матрицы квадратичной формы к простейшему диагональному виду.
• Квадратичные формы в базисе ортонормированных собственных векторов соответствующего линейного симметричного преобразования и канонический вид линий (эллипса, гиперболы) и поверхностей (эллипсоида, однополосного и двуполостного, гиперболоидов), поверхностей в прямоугольной декартовой системе координат.
• Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм (с доказательством).
• Метод Якоби (треугольного преобразования), приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительно определенные квадратичные формы (функции). Условие Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Аффинное пространство (общее определение). Аффинное арифметическое n-мерное вещественное пространство А(Rn).Система координат в А(Rn)

• Аффинное пространство. Определение абстрактного аффинного пространства как множества "точек" и "векторов". Аффинное n-мерное арифметическое пространство А(Rn). Системы точек.
• Системы координат в А(Rn). Изоморфизм n-мерных пространств между собой.

Линейные многообразия (гиперплоскости, прямые) в А(Rn).

• Линейные многообразия в А(Rn): прямые, r-мерные (гипер)плоскости; r-мерные параллелепипеды. Аналитическое (в виде системы линейных уравнений), векторное и параметрическое представления прямых (гиперплоскостей) в А(Rn). Переход от одного вида задания к другому.
• Решение и геометрическое представление решений системы линейных уравнений.
• Вычисление расстояния между точками и между линейными многообразиями в А(Rn).
• Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы.

Алгебраические линии и поверхности в А(Rn)

• Аффинное преобразование координат.
• Алгебраические линии и поверхности. Преобразование многочлена второй степени. Виды кривых второго порядка.
• Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка (распадающиеся поверхности, цилиндрические поверхности, конусы, элипсоиды, гиперболоиды, параболоиды). Прямолинейные образующие.
• Классификация гиперповерхностей второго порядка.

Системы линейных неравенств

• Система линейных однородных неравенств. Геометрическая интерпретация. Фундаментальный набор решений.
• Постановка задачи линейного программирования и способ ее решения сведением системы ограничений в виде линейных неоднородных неравенств к системе однородных линейных неравенств.
• Примеры линейных моделей. (Леонтьева, распределения ресурсов и капитала).
• Евклидовы и унитарное линейные пространства. Положительно определенные эрмитовы формы. Скалярное произведение.

Евклидовы и унитарные линейные подпространства

• Евклидовы и унитарное линейные пространства. Положительно определенные эрмитовы формы. Скалярное произведение.
• Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника, угол между двумя, отличными от нуля векторами. Метрика в Евклидовом и унитарном пространствах.
• Линейные операторы в унитарном пространстве (сопряженные и самосопряженные, нормальные).
• Унитарные операторы. Эрмитовы матрицы.
• Структура произвольного линейного оператора. Жорданова форма матрицы.
• lambda- матрицы (многочлены с матричными коэффициентами).
• Многочлены от матриц, их вычисление.
• Функции от матриц, их вычисление.

Матричные многочлены ( lambda-матрицы, многочлены и функции от матриц)

• lambda- матрицы (многочлены с матричными коэффициентами).
• Многочлены от матриц, их вычисление.
• Функции от матриц, их вычисление.

Введение в численные методы.

• Решение системы Ах = b методом прямого исключения Гауса.
• Метод наименьших квадратов.
• Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.