• /
• Уравнения математической физики

Классификация уравнений, постановки задач

• Уравнения математической физики. Введение. Цели и задачи курса. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными (2.2 [1, 5, 15, 13]-B). Классификация и приведение к каноническому виду уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами и n независимыми переменными (2.1[1, 2]В).Математические формулировки краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типа (n=2: волновое уравнение - задача для струны, задача теплопроводности) (1.1, 1.3, 1.9, 20.7, 20.10 -В, 115-Б; 1.34, 20.40, 20.42В, 122-Б).

Метод разделения переменных. Специальные функции.

• Метод разделения переменных. Общая схема метода разделения переменных (481, 482, 514, 515 - Б).Приведение задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями (480, 482, 518, 519 - Б - привести задачу с неоднородными г.у. к задаче с однородными г.у.).Задача Штурма-Лиувилля. Постановка, решение. Свойства собственных чисел и собственных функций: теоремы о знаке собственных чисел, об ортогональности, весе, др. (463, 467, 466, 469, 506, 507 - Б - поставить и решить з. Ш-Л, исследовать знак и доказать ортогональность с использованием метода доказательства теоремы для общего случая).Решение задач в частном случае вида неоднородности и граничных условий (485, 489, 510 - Б). Принцип суперпозиции.Специальные функции. Функции Бесселя - основные свойства, применение в решении задач по общей схеме метода разделения переменных (20.21, 20.29, 20.32 –В).

Специальные функции (завершение). Интегральные преобразования. Решение задач Коши.

• Специальные функции. Функции Бесселя. Решение задач в частных случаях неоднородности и граничных условий (20.21, 20.29, 20.32 -В). Принцип суперпозиции.Интегральные преобразования. Преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Методология применения для решения задач.Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона. Вывод с использованием преобразования Фурье. Применение для решения задач, запись решения с использованием интеграла ошибок (13.5 [1-5]В). Функция источника.Решение задачи Коши для уравнения движения струны. Формула Даламбера. Вывод с использованием преобразования Фурье. Графическое построение решений. Задача Гурса. Метод характеристик (14.36, 14.34, 14.33 - В).Решение задач на полубесконечной области. Метод отражений.

Постановки плоских и пространственных задач

• Постановка задач колебания мембраны, теплопроводности тела. Постановки задач в сферической и цилиндрической системах координат. (Дать математическую постановку задач: 500-501, 573-577- Б). Понятие корректности постановки задач. Корректность постановки задачи колебания струны. Постановка начально-краевых задач. Понятие классического решения. Принцип максимума (минимума), теоремы единственности и устойчивости.Постановка задач статики (мембраны, теплопроводности тела). Эллиптические уравнения.

Уравнения эллиптического типа. Теория потенциалов.

• Теория потенциалов. Эллиптические уравнения. Уравнение Лапласа и Пуассона. Задачи Неймана, Дирихле. Гармонические функции. Примеры.Теория потенциалов. (n = 2, 3). Объемный потенциал. Свойства и применение.Потенциал простого слоя. Потенциал двойного слоя. Свойства. Применение в решениях задач. Интегральные уравнения.

Уравнения в частных производных первого порядка.

• Уравнения в частных производных первого порядка. Первые интегралы, методы их нахождения. (1146, 1148, 1152-1154 Ф) Общее решение (1169, 1170, 1171, 1174Ф), постановка и решение задач Коши для линейного однородного уравнения, квазилинейного неоднородного уравнения (1189, 1191, 1194, 1196Ф).