• /
• Основы теории моделей

Основы теории множеств

• Аксиома экстенсиональности, подмножества.
• Аксиомы пустого множества и пары. Упорядоченная пара по Куратовскому. Упорядоченные наборы.
• Аксиома суммы. Объединение множеств. Наследственно конечные множества.
• Аксиома степени. Декартово произведение, декартовы степени.
• Аксиома подстановки. Различные формулировки и их эквивалентность. Пересечение и разность множеств.
• Отношения, функции.
• Композиция отношений и функций.
• Ограничение отношений.
• Инъективные и сюръективные отображения.
• Разнозначные отображения, обратные отображения.
• Индуктивные множества. Аксиома бесконечности.
• Аксиома выбора. Различные формулировки и их эквивалентность.
• Аксиома регулярности.
• Отношение равенства.
• Симметричные, антисимметричные, рефлексивные, транзитивные отношения.
• Частично и линейно упорядоченные множества. Цепи.
• Максимальный, минимальный, наибольший и наименьший элементы множества.
• Границы множества, точные верхняя и нижняя грани.
• Принцип максимума Хаусдорфа. Лемма Цорна.
• Решетки, дистрибутивные решетки, булевы алгебры.
• Свойства решеток и булевых алгебр.
• Фильтры булевых алгебр. Центрированные множества. Ультрафильтры.
• Фундированные множества. Трансфинитная индукция.
• Вполне упорядоченные множества.
• Принцип полного упорядочения.
• Подобия вполне упорядоченных множеств.
• Ординалы. Ординалы-последователи и предельные ординалы.
• Порядковые типы. Полная упорядоченность множеств ординалов.
• Арифметика ординалов: сумма и произведение ординалов.
• Трансфинитные построения.
• Ранг множества. Фундированность отношения принадлежности. Эквиваленты аксиомы регулярности.
• Равномощность.
• Теорема Кантора-Бернштейна о равномощных множествах.
• Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств.
• Кардиналы. Существование и единственность кардинала.
• Арифметика кардиналов: сумма и произведение кардиналов.
• Кардиналы-последователи, предельные кардиналы, строго предельные кардиналы.
• Иерархии кардиналов. Континуум-гипотеза и обобщенная континуум-гипотеза.
• Конфинальные множества, конфинальность ординалов.
• Свойства конфинальности.
• Регулярные и сингулярные кардиналы. Регулярность кардиналов-последователей.
• Сингулярность строго предельных кардиналов доказуемого существования. Существование строго предельного кардинала заданной конфинальности.
• Недостижимые кардиналы. Гипотезы больших кардиналов. расширения теории ZFC.
• Комбинаторные свойства множеств, теорема Рамсея

Исчисление предикатов

• Сигнатуры, формулы, алгебраические системы
• Истинность
• Аксиомы и правила исчисления предикатов: обобщение исчисления высказываний
• Выводимость (доказуемость) в исчислении предикатов, примеры доказательств
• Тождественная истинность, выполнимость, тождественная ложность формул и секвенций
• Понятие непротиворечивости, непротиворечивость исчисления предикатов
• Доказуемость основных тождеств логики предикатов
• Множества Хинтикки
• Существование моделей множества Хинтикки
• Построение множеств Хинтикки: основная конструкция
• Формальная непротиворечивость множеств
• Свойства непротиворечивых множеств
• Существование моделей непротиворечивых множеств
• Понятие полноты, полнота исчисления предикатов
• Теорема компактности
• Приложения теоремы компактности: существование больших моделей
• Положительные и отрицательные вхождения предикатных символов
• Отделимость множеств
• Совместностная выполнимость неотделимых множеств
• Интерполянты
• Интерполяционная теорема Крейга-Линдона
• Приложения интерполяционной теоремы: связь Q-монотонности и Q-положительности

Теории и модели

• Теории, определение
• Способы задания теорий: аксиоматическое и модельное
• Пересечения и объединения теорий
• Примеры теорий: теория равенства, теории порядков, теории колец, полей
• Полные теории, примеры
• Теорема Линденбаума
• Конечные алгебраические системы и их теории
• Категоричность в мощности
• Полнота категоричных теорий
• Консервативные расширения теорий, примеры консервативных и неконсервативных расширений
• Расширения полных теорий
• Теорема Робинсона о непротиворечивости
• Определимость явная и неявная
• Определимые расширения
• Теорема Бета об определимости
• Выбор аксиом для теории
• Конечная аксиоматизируемость
• Элиминация кванторов, примеры
• Разрешимость теорий
• Алгебраические системы
• Надсистемы и подсистемы
• Примеры подсистем
• Порождение подсистем множеством
• Элементарные подсистемы и расширения, критерии элементарности
• Элементарная эквивалентность
• Игры Эренфойхта
• Диаграммы
• Вложения
• Построение надсистем и вложений с использованием диаграмм
• Элементарные диаграммы
• Элементарные вложения
• Построение элементарных надсистем и вложений с использованием элементарных диаграмм
• Теорема Левенгейма-Скулема вверх
• Устойчивость формул и теорий
• Устойчивость относительно надсистем и экзистенциальная аксиоматизируемость
• Устойчивость относительно подсистем и универсальная аксиоматизируемость
• Термальные скулемовские функции
• Свойства теорий, имеющих термальные скулемовские функции
• Скулемизация теорий
• Модельная полнота
• Критерии модельной полноты
• Примеры использования модельной полноты
• Цепи систем
• Объединение цепей
• Элементарные цепи и их объединения
• Индуктивные теории
• Устойчивость относительно объединения цепей и универсально-экзистенциальная аксиоматизируемость
• Вынуждение
• Генерические системы
• Генерические модели индуктивных теорий
• Экзистенциально замкнутые модели
• Теорема Линдстрема
• Гомоморфизмы
• Устойчивость относительно гомоморфизмов и позитивная аксиоматизируемость
• Ультрапроизведения, конструкция
• Фильтруемость и условная фильтруемость
• Теорема Лося
• Доказательство теоремы компактности при помощи ультрапроизведений
• Аксиоматизируемость классов
• Ультрастепенные расширения
• Мощность ультрастепенных расширений
• Полные вложения
• Полнота ультрастепенных расширений
• Предельные ультрастепени
• Хорновские формулы, классы, теории
• Устойчивость относительно фильтрованых и конечных произведений и аксиоматизируемость хорновскими формулами

Типы

• Типы, примеры типов
• Типы в теориях и в алгебраических системах
• Мощность множества типов
• Реализация и опускание типов
• Реализация типов с помощью теоремы компактности
• Главные и неглавные типы
• Теорема об опускании типов
• Использование опускания типов
• Алгебра Линденбаума
• Теорема Рыль-Нардзевского
• Простые алгебраические системы
• Однородность
• Изоморфизм простых систем
• Однородность простых систем
• Счетная универсальность
• Обобщение, типы с бесконечным числом переменных
• Универсальность
• Типы над множеством
• Насыщенность
• Связь насыщенности, однородности и универсальности
• Изоморфизм насыщенных моделей
• Насыщенность ультрапроизведений и ультрастепеней
• Проблема существования насыщенных систем
• Рекурсивная насыщенность
• Изоморфизм рекурсивно насыщенных систем
• Специальные системы
• Универсальность специальных систем
• Изоморфизм специальных систем
• Неразличимые множества
• Тип неразличимого множества
• Построение неразличимого множества
• Термальные скулемовские функции на неразличимых множествах