• /
• Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

• 1. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной. Основные понятия: дифференциальное уравнение, уравнение в дифференциалах, общее решение, частное решение, общий интеграл, частное решение, задача Коши, решение задачи Коши.
• Решение ОДУ и уравнений в дифференциалах:- уравнение с разделяющимися переменными (51, 54) и уравнения, сводящиеся к ним (62, 64); однородные уравнения (101, 108) и сводящиеся к ним (118);- линейные уравнения (140, 146, 139), уравнения Бернулли (151), Риккати (167, 168);- уравнение в полных дифференциалах (186), интегрирующий множитель, нахождение интегрирующего множителя. Метод замены (161-163) и выделения дифференциала (197, 206).Решение задач Коши Тема: Дифференциальные уравнения 1-го порядка. (53, 56). Использование при решении уравнений определенного и неопределенного интегралов.
• Интегральные кривые. Построение интегральных кривых методом изоклин, геометрическая интерпретация условия Коши и решения задачи Коши (2, 5).
• Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод последовательных приближений (221 а, б). ).

Постановки задач, решаемых с использованием дифференциальных уравнений. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Понижение порядка. Краевые задачи.

• Математическая формулировка и применение ОДУ в решении задач (геометрических, физических, экономических, экологических, др.): закон изменения сформулирован в условии задачи и даны условия для нахождения коэффициентов (80, 82, 85, 87, лекционные), вывод уравнений (77-79, 91-92), геометрические задачи (71-76), уравнение движения Ньютона (90).
• Уравнения, не разрешенные относительно производной (251, 267, 271). Особые решения, огибающая (244).
• Понижение порядка. (453, 424, 445, 455, 485).
• Краевые задачи. Функция Грина. Решение неоднородной краевой задачи (764, 767).

Линейные уравнения n-го порядка.

• Линейные уравнения n-го порядка. ТСЕ. Линейная зависимость и независимость функций, определение, теоремы, исследование по определению и с использованием определителя Вронского (641, 644, 648, 652, 660). ФСР, нахождение ФСР, теорема об общем решении однородного уравнения, построение общего решения однородного уравнения (511, 524, 518, 531). Общее решение неоднородных уравнений. Нахождение частного решения: метод вариации произвольных постоянных (576, 578), метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции (542, 543, 547, 548).

Системы ОДУ.

• Сведение задачи Коши уравнения к задаче Коши системы (585, 587). Сведение задачи Коши системы к задаче Коши уравнения (831, 833, x(0)=0, y(0)=0). Нахождение ФСР, общего решения, решения задачи Коши уравнения (системы) сведением к соответствующей задаче для системы (уравнения) (585, 587, 831, 833, x(0)=0, y(0)=0).
• Линейные системы n-го порядка. ТСЕ. Линейная зависимость и независимость вектор-функций, определение, теоремы, исследование по определению и с использованием определителя Вронского. ФСР, теорема о существовании ФСР, нахождение ФСР, построение общего решения однородной системы (828, 829, 800, 801, 805). Общее решение неоднородных уравнений. Нахождение частного решения: метод вариации произвольных постоянных (846, 847), метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции (828, 833). Матричная экспонента, нахождение, свойства, применение в решении задач (867, 868).

Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений.

• Динамические (автономные) системы. Фазовое пространство, фазовые траектории. Свойства решений динамических систем. Классификация особых точек, построение фазовых траекторий линейных однородных систем 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами (962, 972, 974, 973, 966). Нахождение особых точек и построение фазовых траекторий в их окрестности для нелинейных систем (1028, 1025, 986, 902)
• Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений по Ляпунову. Определение, исследование по определению (881 (а, в), 882, 891, 890). Сведение исследования на устойчивость ненулевого решения к исследованию нулевого решения (913, 914). Исследование на устойчивость по первому приближению - нахождение и исследование на устойчивость положений равновесия (916-918; пример п.15, 907-909). Производная в силу системы, функция Ляпунова, теоремы Ляпунова и Четаева.
• Уравнение движения одномерной системы. Интеграл энергии. Равновесные состояния, теоремы об устойчивости. Построение глобального фазового портрета одномерной системы (1001, 1003).

Приближенные методы решения. Аналитическое решение ОДУ на ПК.

• Решение дифференциальных уравнений на персональном компьютере с использованием Maple.
• Методы приближенных решений. Задача Коши и интегральное уравнение. Метод последовательных приближений (222б). Метод малого параметра (метод возмущений) (1074, 1076).