• /
• Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

• Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Основные понятия: дифференциальное уравнение, уравнение в дифференциалах, общее решение, частное решение, общий интеграл, частное решение, задача Коши, решение задачи Коши.
• Решение ОДУ и уравнений в дифференциалах:- уравнение с разделяющимися переменными (51, 54) и уравнения, сводящиеся к ним: (62, 64); однородные уравнения (101, 108) и сводящиеся к ним (118);- линейные уравнения (140, 146, 139), уравнения Бернулли (151), Риккати (167, 168);- уравнение в полных дифференциалах (186), интегрирующий множитель, нахождение интегрирующего множителя.Метод замены (161-163) и выделения дифференциала (197, 206).Задача Коши. Решение задач Коши (53, 56). Использование при решении уравнений определенного и неопределенного интегралов.
• Краевые задачи. Функция Грина. Решение неоднородной краевой задачи (764, 767).
• 4. Интегральные кривые. Построение интегральных кривых методом изоклин, геометрическая интерпретация условия Коши и решения задачи Коши (2, 5).
• Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод последовательных приближений (221 а, б).
• Математическая формулировка и применение ОДУ в решении задач: закон изменения сформулирован в условии задачи и даны условия для нахождения коэффициентов (80, 82, 85, 87, лекционные), вывод уравнений (77-79, 91-92).

Решение уравнений n-го порядка.

• Линейные уравнения n-го порядка. ТСЕ. Линейная зависимость и независимость функций, определение, теоремы, исследование по определению и с использованием определителя Вронского (641, 644, 648, 652, 660). ФСР, нахождение ФСР, теорема об общем решении однородного уравнения, построение общего решения однородного уравнения (511, 524, 518, 531). Общее решение неоднородных уравнений. Нахождение частного решения: метод вариации произвольных постоянных (576, 578), метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции (542, 543, 547, 548).

Системы ОДУ

• Сведение задачи Коши уравнения к задаче Коши системы (585, 587). Сведение задачи Коши системы к задаче Коши уравнения (831, 833, x(0)=0, y(0)=0). Нахождение ФСР, общего решения, решения задачи Коши уравнения (системы) сведением к соответствующей задаче для системы (уравнения) (585, 587, 831, 833, x(0)=0, y(0)=0).2. Линейные системы n-го порядка. ТСЕ. Линейная зависимость и независимость вектор-функций, определение, теоремы, исследование по определению и с использованием определителя Вронского. ФСР, теорема о существовании ФСР, нахождение ФСР, построение общего решения однородной системы (828, 829, 800, 801, 805). Общее решение неоднородных уравнений. Нахождение частного решения: метод вариации произвольных постоянных (846, 847), метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции (828, 833).

Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений

• Динамические (автономные) системы. Фазовое пространство, фазовые траектории. Классификация особых точек линейных однородных систем 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами (962, 972, 974, 973, 966). Нахождение особых точек и построение фазовых траекторий в их окрестности для нелинейных систем (1028, 1025, 986, 902).2. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений по Ляпунову. Определение. Исследование на устойчивость по первому приближению - нахождение и исследование на устойчивость положений равновесия (916-918; пример п.15, 907-909). Производная в силу системы, функция Ляпунова, теоремы Ляпунова и Четаева.

Разностные уравнения.

• Общие понятия, определения, примеры (задачи экономического содержания с дискретным временем). Линейные разностные уравнения. Методы решения. . Общие понятия, определения, примеры (задачи экономического содержания с дискретным временем). Линейные разностные уравнения. Методы решения.

Уравнения в частных производных первого порядка. Уравнения математической физики.

• Уравнения в частных производных первого порядка. Первые интегралы, методы их нахождения. (1146, 1148, 1152-1154) Общее решение (1169, 1170, 1171, 1174), постановка и решение задач Коши для линейного однородного уравнения, квазилинейного неоднородного уравнения (1189, 1191, 1194, 1196). 2. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка с двумя независимыми переменными, приведение к каноническому виду (68, 69, 70, 76 Б). 3. Математические формулировки начально-краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов (задача для струны, теплопроводности: 1.1, 1.3, 20.7, 20.10 -В, 115-Б; 1.34, 20.40, 20.42 -В, 122-Б). Эллиптические уравнения.